Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Что такое наименьшее и наибольшее значение функции


Что такое наименьшее и наибольшее значения линейной функции?? Обьясните на примере y=-2x на луче [0,+Бесконечность]

Наименьшего значения нет. Луч не имеет конца. Наибольшее значение функции у=-2х на промежутке [0;+беск) =0. Построй график и все станет ясно. Начало луча в точке (0;0). Дальше при х-->к +беск. у--> к -беск. График расположен в 4 четверти. И обрати внимание, что 0 больше отриц. числа.

нужно начертить данный график и на системе координат выделить точку 0 (вколотая) т. е. закрасить точку и рассматривай ф-цию только от 0 и до бесконечности в итоге, наибольшего - не существует, т. к. уходит + бесконечность, а наименьшее будет 0

Постройте ось и подставляйте значения в уравнение y=-2x x123 y-2-4-6 Ну вот как-то так. Стройте график и всё увидите

У линейной функции нет наименьшего (наибольшего) значения. у луча есть. в твоем случае (мы проходили это так и если что не пугайтесь) Х минимум=0, У минимум= Минимум функции= 0 (х минимум - точка минимума, то есть значение аргумента в этой точке. У минимум это значение ординаты в этой точке. но это когда ты берешь точку из эпсилон окрестности) то что ты просишь это найти экстремумы (значит не на отдельной части области определения, а на всей области определения)

touch.otvet.mail.ru

Наибольшее и наименьшее значения функции — ПриМат

Для функции, непрерывной на отрезке по первой теореме Вейерштрасса существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция принимает наибольшее значение на отрезке в точке x_{0} , если x_{0}\epsilon [a;b] и : Аналогично функция принимает наименьшее значение min на отрезке в точке x_{1}, если x_{1}\epsilon [a;b] и :

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте .

Решение:

Найдем производную функции .  Найдем точки, в которых производная равна нулю:   x=2. Значение x=2 принадлежит сегменту . Находим значения функции в полученной стационарной точке и на концах промежутка:

  1. ;
  2. ;
  3. .

Таким образом:;.

2.Найти отношение радиуса основания к высоте цилиндра h, если при заданном объеме площадь полной поверхности S является наименьшей.

Решение:

Svg.5.ex

Пусть V — фиксированный объем цилиндра, площадь полной поверхности S=2\pi x^{2}+2\pi hx, тогда V=S_{1}\times h=\pi x^{2}h, где S_{1} — площадь основания цилиндра h=\frac{V}{\pi x^{2}}.

Тогда S=2\pi x^{2} +2\pi x\frac{V}{\pi x^{2}}=2(\pi x^{2}+\frac{V}{x}). Найдем производную : . Найдем стационарные точки: x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}. Получим: h=2x.

Вывод: цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т.е в случае, когда осевое сечение — квадрат.

Список литературы:

Наибольшее и наименьшее значения функции

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Наибольшее и наименьшее значения функций».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
максимум из 7 баллов Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Наибольшее и наименьшее значения функции

максимум из 7 баллов Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Решение задач

Отыскание максимумов и минимумов - одна из самых распространенных задач при исследованиях функций.Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение, либо в критических точках (в точках, в которых производная обращается в нуль или не существует), принадлежащих исследуемому промежутке, или на его концах .

На практике нахождения максимумов и минимумов похоже на отыскания локального экстремума, только добавляются края промежутка. Возможны случаи, когда максимумы и минимумы функций находятся в точках локального экстремума, а возможные - на краях отрезка.

Рассмотрим ряд примеров, чтобы ознакомить Вас с методикой исследования.

-----------------------------------

Примеры.

Определить наибольшее и наименьшее значение фунции на промежутке.

Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец "Высшая математика в примерах и задачах".

1. (4.55.б)

Функция определена на всем множестве действительных чисел

Найдем производную функции

Приравняем ее к нулю и определим критические точки

Проверим знак производной слева и справа от найденной точки

Производная при переходе через точку меняет знак с положительного на отрицательный , следовательно она является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке

и на краях отрезка

Таким образом функция достигает максимума в точке локального экстремума и минимума на одном из краев отрезка .

2. (4.55.д)

На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную

Приравнивая нуля найдем критическую точку

Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках

Функция приобретает максимум и минимум в точках

3. (4.55.є)

Функция определена для всех значений аргумента .

Найдем производную

Из выражения видно, что производная отлична от нуля на промежутке определения, однако в точке она не существует.

Вычислим значение функции

Наибольшее значение функция принимает в точке , а наименьшее значение в критической точке .

-----------------------------------

Приведем решения задач из сборника Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика".

4. (5.770)

Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной

Приравняем ее к нулю и находим критические точки

Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках

Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка

5. (5.771)

На заданном интервале функция определена, проводим дифференцировку

Приравняв к нулю производную получим

Другую критическую точку найдем из условия, что производная не существует

Одна совпадает с началом отрезка. Вычислим значение функции на краях отрезка и в критических точках

Таким образом функция принимает максимальное значение в критической точке, а минимальное на конце отрезка

Из приведенных решений можно сделать выводы, что главным в исчислении является знание функций и умение дифференцировать. Все остальное сводится к отысканию значений функций в точках и анализа результатов. Изучайте свойства элементарных функций, правила нахождения производных, это Вам пригодится при решении примеров.

----------------------------------------------

Посмотреть материалы:

yukhym.com

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

 НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ - понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

  • НАИБОЛЬШЕГО БЛАГОПРИЯТСТВОВАНИЯ ПРИНЦИП
  • НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

Смотреть что такое "НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ" в других словарях:

  • наибольшее и наименьшее значения функции — понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего)… …   Энциклопедический словарь

  • Наибольшее и наименьшее значения функции —         понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет… …   Большая советская энциклопедия

  • НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ — понятия матем. анализа. Значение, принимаемое функцией в пек рой точке множества, па к ром эта функция задана, наз. наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Большая политехническая энциклопедия

  • МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ — наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума… …   Математическая энциклопедия

  • Троичные функции — Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа , где   троичное множество, а   неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества  цифровые… …   Википедия

  • БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ МИНИМИЗАЦИЯ — представление булевых функций нормальными формами (см. Булевых функций нормальные формы). простейшими относительно нек рой меры сложности. Обычно под сложностью нормальной формы понимается число букв в ней. В этом случае простейшая форма наз.… …   Математическая энциклопедия

  • Непрерывная функция —         Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0 …   Большая советская энциклопедия

  • максимум и минимум — (лат. maximum и minimum, буквально  наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рисунке функция у = f(х) имеет в точках x1 и х3 максимум, а в точке х2 … …   Энциклопедический словарь

  • МАКСИМУМ И МИНИМУМ — (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Современная энциклопедия

dic.academic.ru

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

 

Пусть функция непрерывна на отрезке . Такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при или . Если , то может быть критической точкой функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:

1.Найти критические точки функции на интервале .

2.Вычислить значения функции в найденных критических точках.

3.Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках и .

4.Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение (рис.8а).

Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом (рис.8б).

рис.8а рис.8б

 

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин (задачи оптимизации).

Пример 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Найдем критические точки данной функции:

.

при , и . Вычислим значения функции в найденных точках и на концах отрезка :

;

;

.

Итак, и .

Пример 13. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Решение. Обозначим через и искомые слагаемые, причем и . Тогда т.к. по условию , то .

Составим функцию, выражающую сумму кубов слагаемых:

.

Найдем наименьшее значение функции на отрезке . Т.к. , то при , кроме того . Поэтому точка – точка минимума. Т.к. функция имеет одну критическую точку, то при и функция принимает наименьшее значение .

 

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале.

График функции называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба графика функции (рис.9).

рис.9

Определение интервалов выпуклости вниз и вверх графика функции: если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх; если же во всех точках интервала , то график функции выпуклый вниз.

Достаточное условие существования точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба (рис.10).

рис.10

Пример 14. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение. Данная функция и ее производные определены и непрерывны на всей числовой прямой. Найдем производную второго порядка:

;

.

Тогда при . Определим знаки слева и справа от точки (рис.11).

рис.11

При этом .

Следовательно, график функции выпуклый вверх при и выпуклый вниз (вогнутый) при . Точка есть точка перегиба графика функции.

 

Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 12).

Асимптоты графика функции могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или (рис. 12а).

рис. 12а рис.12б

рис.12в

 

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где , а (рис. 12б).

Наклонная асимптота существует, если указанные пределы существуют и значения и конечны. Если же хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то график функции наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если , а , то уравнение задает горизонтальную асимптоту графика функции (рис. 12в).

Асимптоты графика функции при и могут быть разными (в частности для трансцендентных функций – логарифмических, показательных, обратно тригонометрических). Поэтому следует рассматривать два случая:

; .

Пример 15. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция имеет точку разрыва второго рода . Действительно, односторонние пределы функции равны:

; .

Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем уравнение наклонной асимптоты:

;

.

Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции.

4.10. Общая схема исследования функции и построение графика

 

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Найти множество значений функции.

3. Найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).

5. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида, периодической или непериодической.

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Построить график функции.

 

Читайте также:

lektsia.com

наибольшее и наименьшее значения функции

 наибольшее и наименьшее значения функции наибо́льшее и наиме́ньшее значе́ния фу́нкции

понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения.

* * *

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НАИБО́ЛЬШЕЕ И НАИМЕ́НЬШЕЕ ЗНАЧЕ́НИЯ ФУ́НКЦИИ, понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией (см. ФУНКЦИЯ (в математике)) в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения.

Энциклопедический словарь. 2009.

  • наибольшего благоприятствования принцип
  • наибольший общий делитель

Смотреть что такое "наибольшее и наименьшее значения функции" в других словарях:

  • НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ — понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего)… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Наибольшее и наименьшее значения функции —         понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет… …   Большая советская энциклопедия

  • НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ — понятия матем. анализа. Значение, принимаемое функцией в пек рой точке множества, па к ром эта функция задана, наз. наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Большая политехническая энциклопедия

  • МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ — наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума… …   Математическая энциклопедия

  • Троичные функции — Троичной функцией в теории функциональных систем и троичной логике называют функцию типа , где   троичное множество, а   неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы множества  цифровые… …   Википедия

  • БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ МИНИМИЗАЦИЯ — представление булевых функций нормальными формами (см. Булевых функций нормальные формы). простейшими относительно нек рой меры сложности. Обычно под сложностью нормальной формы понимается число букв в ней. В этом случае простейшая форма наз.… …   Математическая энциклопедия

  • Непрерывная функция —         Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0 …   Большая советская энциклопедия

  • максимум и минимум — (лат. maximum и minimum, буквально  наибольшее и наименьшее) (матем.), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с её значениями в достаточно близких точках. На рисунке функция у = f(х) имеет в точках x1 и х3 максимум, а в точке х2 … …   Энциклопедический словарь

  • МАКСИМУМ И МИНИМУМ — (от латинского maximum и minimum наибольшее и наименьшее) (математическое), наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями в достаточно близких точках. Точки максимума и минимума называются точками экстремума …   Современная энциклопедия

dic.academic.ru