Как найти функцию, обратную квадратичной функции. Как сделать функцию обратную данной


Как найти обратную функцию для данной

Обратной функцией называют функцию, обращающую исходную зависимость у = f(x) таким образом, что аргумент х и функция у меняются ролями. То есть х становится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений исходной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.

Инструкция

  • В общем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите аргумент х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом учитывайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение аргумента х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Искомая обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).
  • Однако зачастую в функциях используются сложные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции нужно учитывать известные свойства данных математических выражений.
  • Если в исходной функции аргумент х стоит под степенью, для получения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Например, для заданной функции у = 7+ х² обратная будет иметь вид: f(у) = √у -7.
  • При рассмотрении функции, где аргумент х представляет собой степень постоянного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, отличное от нуля. Так же и наоборот, рассматривая исходную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.
  • В частном случае исследования функции, содержащей натуральный логарифм ln х или десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, получение обратной функции проводится аналогично, только вместо основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Например, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.
  • Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары: - y = cos x -> x = аrccos y;- y = sin x -> x = аrcsin y;- y = tan x -> x = аrctan y.

completerepair.ru

Обратная функция. Урок алгебры в 10-м классе (профильный уровень)

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательная:

  • формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
  • изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

  • развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
  • овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная:  формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

-определение отсутствующих,

- настрой учащихся на работу, организация внимания;

- сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1>

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

  1. D(f) = [-4;),E(y) = [0;), 
  2. ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу;
  3. y=0, при х=0
  4. y>0 при на [-4;0) и на [0;)
  5. возрастает на [-2;-1] и на [0;) убывает на [-4;-2] и на [-1;0]
  6. yнаиб- не существует yнаим=0 при х=0
  7. xmax= -1 ,ymax = 2 xmin = -2, ymin = 1 xmin = 0, ymin = 0
  8. Выпукла вниз на [4;-1], выпукла вверх на [1;), невыпуклая на [-1;1].

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Вопросы:

  1. Какая функция называется обратимой?
  2. Любая ли функция обратима?
  3. Какая функция называется обратной данной?
  4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
  5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
  6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

  1. Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х1≠х2- две точки множества Х.
  2. Для определенности пусть х1< х2. Тогда из того, что х1 < х2 следует, что f(х1) < f(х2).
  3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

 А)

 Б)

Г) y = 2x + 5 

Д) y = -x2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1(y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x).

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

  1. Убедиться, что функция монотонна.
  2. Выразить переменную х через у.
  3. Переобозначить переменные. Вместо х=f -1(y) пишут y=f -1(x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x2, х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Ответ:

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски .

Чтобы получить график функции y=f -1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как найти функцию, обратную квадратичной функции » VripMaster

Найти функцию, обратную линейной функции, легко: надо просто сделать «х» зависимой переменной, а затем заменить «х» на «у». Этот процесс значительно усложняется в случае квадратичной функции.

Шаги

  1. Выполняйте любые алгебраические операции с обеих сторон функции, чтобы не изменить ее.

  2. Перепишите функцию в виде y=a(x-h)+k. Это не только упростит нахождение обратной функции, но и позволит определить, имеет ли исходная функция обратную. Вы можете сделать это двумя способами:
    • Дополнение до полного квадрата.
      1. Вынесите коэффициент «а» (коэффициент при х) за скобку, а члены функции разделите на коэффициент «а».
      2. Теперь коэффициент при «х» равен b/а. Разделите его на 2 и получите b/2a, а затем возведите в квадрат: (b/2a). Полученное значение одновременно прибавьте и вычтите из функции (чтобы не поменять ее значение). Теперь три первых члены в скобках записываются в виде a+2ab+b, где а = х, b = b/2a (эти величины имеют числовые значения). Эти три первых члена являются полным квадратом.
      3. Первые три члена можно записать в виде (a-b) или (a+b) (знак зависит от знака коэффициента при «х» в исходной функции).
      4. Оставшийся член вынесите за скобки и получите: y=a(x-h)+k.
    • Сравнение коэффициентов.
      1. Слева запишите исходную функцию, а справа – ее желаемый вид (в нашем случае a(x-h)+k). Это позволит вам найти значения a, h, k, верные при любом значении «х».
      2. Раскройте скобки с правой стороны уравнения (левую часть вообще не трогайте).
      3. Определите коэффициенты при х и «х».
      4. Сравните коэффициенты при х и «х» на правой и левой сторонах уравнения – они должны быть равны друг другу. Это приводит к функции вида a(x-h)+k), в которой вместо «а» подставьте найденное значение. Коэффициент при x (или 1) на левой стороне уравнения должен быть равен коэффициенту на правой стороне. Сравнивая их, получите уравнение, которое поможет найти значение k.
      5. Используя найденные значения а, h, k, вы можете написать функцию в нужном виде.
  3. Убедитесь, что значение h лежит либо на границе области определения, либо вне ее. Значение h – это координата «х» экстремума функции. Если h лежит внутри области определения, то исходная функция не имеет обратной функции. Обратите внимание на знак в скобках: (x-h)+k. Таким образом, если дано (х + 3), то h = -3 (отрицательное значение).

  4. Сделайте (x-h) зависимым выражением. Для этого вычтите k из обеих сторон уравнения, а затем разделите обе стороны уравнения на «а».

  5. Извлеките корень из обеих сторон уравнения. Вы избавитесь от степени. Не забудьте поставить знак +/- на другой стороне уравнения.

  6. Определите правильный знак (вы не можете оставить оба знака). Для этого рассмотрите область определения. Если х < определенного значения, то выберите «-». Если х > определенного значения, выберите «+». Теперь сделайте «х» зависимой переменной.

  7. Вместо «у» подставьте «х», а вместо «х» подставьте f(x). Вы нашли обратную функцию.

Советы

  • Проверьте ответ, вычислив f(х) для некоторого значения «х», а затем подставьте найденное значение в обратную функцию, чтобы найти исходное значение «х». Например, если при х = 3, f(х) = 4, то, подставив 4 в обратную функцию, вы должны получить 3.
  • Если возможно, проверьте ответ, построив график обратной функции. Он должен иметь вид графика исходной функции, но симметричный относительно прямой у = х.

vripmaster.com

3.1.4 Обратная функция. График обратной функции

Видеоурок 1: Обратные функции. Введение

Видеоурок 2: Обратные функции (Пример 1)

Видеоурок 3: Обратные функции (Пример 2)

Лекция: Обратная функция. График обратной функции

Рассмотрим некоторую функцию у = f(x), которая возрастает или же убывает, то есть является монотонной. Для нее будет иметься некоторая функция х = g(y), которая будет называться обратной функцией.

Что такое обратная функция?

Давайте рассмотрим некое уравнение: соs(х) = 1/2.

Решением данного уравнения будет: x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ϵ Z.

Косинус и арккосинус - это наглядный пример обратных функций.

Давайте рассмотрим обратные функции на примере.

Например, мы имеем функцию у = 3х + 2.

Для данной функции и область определения, и область значения может принимать все множество действительных чисел. Более того, данная функция является монотонно возрастающей на всем участке.

А теперь давайте из данной зависимости выразим "х". В результате этого получим:

х = у/3 - 2/3.

Полученная зависимость будет называться обратной функцией для той, что давалась изначально, только теперь мы получили зависимость "х" от "у".

Если записать второе уравнение в привычном нам виде, то есть заменить "х" на "у" и наоборот, получим:

у = х/3 - 2/3.

На графике изобразим первоначальную функцию, обратную ей, и функцию у = х.

Можно заметить, что обратные функции симметричны относительно прямой у = х.

Свойства взаимообратных функций

1.

2. Первое свойство дает понять, что область определения второй функции такая же, как и область значения первой.

3. Графики любых взаимообратных функций всегда будут симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

4. Обратные функции имеют одинаковую монотонность.

Графики основных обратных функций

1. Степенная функция

Ниже представлены графики, полученные для положительного показателя степени и для отрицательного показателя степени:

2. Обратные логарифмические функции и их графики:

cknow.ru

Понятие об обратной функции: график функции и теорема

 

Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. Например, линейная функция будет являться обратимой функцией. А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Обратная функция

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g – есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Выведем следующую теорему: если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима. Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. Данная теорема называется теоремой об обратной функции.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Логарифмическая функция: основные свойства и графики Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПроизводная и первообразная показательной функции: число е и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Обратная функция | Математика | FANDOM powered by Wikia

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

    Пусть дано биективное отображение $ F: X \to Y $. Тогда по определению биекции для каждого $ y \in Y $ существует в точности один $ x \in X $, такой что $ F(x) = y $. Таким образом построена функция $ y\in Y \mapsto x\in X $. Эта функция называется обратной к $ F $ и обозначается $ F^{-1} $.

    • Областью определения $ F^{-1} $ является множество $ Y $, а областью значений множество $ X $.
    • По построению имеем:
    $ y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y) $

    или

    $ F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y $, $ F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X $,

    или короче

    $ F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y $, $ F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X $,

    где $ \circ $ означает композицию функций, а $ \mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y $ - тождественные отображения на $ X $ и $ Y $ соответственно.

    • Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $ y = F(x) $ относительно $ x $, и затем поменять местами $ x $ и $ y $. Если уравнение $ y = F(x) $ имеет более чем один корень, то функции обратной к $ F $ не существует.
    • Функция $ F $ является обратной к $ F^{-1} $:
    $ \left(F^{-1}\right)^{-1} = F $.
    • Пусть $ F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} $ - биекция. Пусть $ F^{-1}:Y \to X $ её обратная функция. Тогда графики функций $ y = F(x) $ и $ y = F^{-1}(x) $ симметричны относительно прямой $ y = x $.
    • Если $ F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x $, где $ a>0, $ то $ F^{-1}(x) = \log_a x. $
    • Если $ F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R} $, где $ a,b\in \mathbb{R} $ фиксированные постоянные, то $ F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}. $
    • Если $ F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z $, то $ F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}. $

    Эта статья содержит материал из статьи Обратная функция русской Википедии.

    ru.math.wikia.com