Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника. Найти стороны равнобедренного треугольника по основанию


Как найти неизвестную сторону равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны в таком треугольнике называются боковыми, третья — основанием. Периметр равнобедренного треугольника (Р) будет равен сумме двух одинаковых боковых сторон (а) и основания (b):

Р = 2а + b

Против равных сторон лежат равные углы. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к его основанию, называется высотой равнобедренного треугольника. Проведенные к основанию биссектриса, медиана и высота совпадают между собой, делят треугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, гипотенузой которых будет боковая сторона (а), а катетами — высота (h) и половина основания равнобедренного треугольника (b/2). По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов, в нашем случае квадрат боковой стороны а (как гипотенузы) равен сумме половины основания (b/2), возведенного в квадрат, и высоте h в квадрате:

а2 = (b/2)2+h3

Отсюда, боковая сторона будет равна корню из суммы половины основания в квадрате и высоты, также возведенной в квадрат:

а = √(b/2)2+h3,

где а — боковая сторона, b/2 — половина основания, h — высота.

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза (в нашем случае это боковая сторона равнобедренного треугольника — а) и один из катетов (высота h), неизвестный катет находим, воспользовавшись теоремой Пифагора. Заметим, что неизвестный катет является половиной основания равнобедренного треугольника (b/2). Тогда, квадрат катета прямоугольного треугольника равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета:

(b/2)2 = a2 — h3

Половина основания треугольника (b/2) равняется корню квадратному из квадрата гипотенузы минус квадрат другого катета:

b/2 = √а2 — h3,

где b/2 — половина основания, а — боковая сторона, h — высота.Умножив полученный результат на 2, находим всю длину основания.

Расчет длины стороны равнобедренного треугольника зная сторону и высоту

infofaq.ru

Все формулы для треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника

 

L - биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через катеты

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

Биссектриса из острого угла прямоугольного треугольника

 

L - биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и угол

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и угол

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

 

www-formula.ru

Находим боковую сторону равнобедренного треугольника. Формулы и способы определения на Kak-Legko.ru

Равнобедренный треугольник является таким, у которого между собой равны две стороны, а третья считается основанием. Чтобы определить размер боковой стороны, необходимо знать радиус окружности, описанной вокруг него, или один из углов и длину другой стороны. В зависимости от того, какая величина известна, необходимо использовать соответствующие формулы, которые, в свою очередь, вытекают из теоремы косинуса или синуса, или из теоремы о проекциях. Если Вы не знаете, как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, прочитайте перечисленные ниже способы ее нахождения.

Необходимо:

— линейка;— транспортир;— таблица Брадиса;— усидчивость.

Инструкция:

  • Допустим, что наш треугольник имеет основание b и угол α, который лежит между боковой стороной a и основанием. Предположим, что вокруг него описана окружность с R радиусом. В этом случае длина боковой стороны будет рассчитана таким образом: a=2R*sinα. Иными словами, она будет равна произведению синуса угла у основания на два радиуса описанной окружности вокруг треугольной фигуры.
  • Если Вы знаете длину основания b и угол α между боковой стороной и ним, то Вы сможете легко узнать длину a – боковой стороны, воспользовавшись формулой: a=b/2cosα. Иными словами, длина боковой стороны равнобедренного треугольника будет равна частному основания на удвоенный синус угла α.
  • Зная площадь и формулы для ее нахождения (S=(a*b/2)*(sinα/2) или S=(a*b/2)*(cosβ/2)), можно выразить длину a – боковой стороны: a=(2S/(sinα/2))*b или a=(2S/(cosβ/2))*b. Иными словами, длина будет равна произведению основания на отношение двух площадей на 1/2 синуса угла между основанием и боковой стороной или 1/2 косинуса угла между боковыми сторонами.
  • Если известен периметр P и основание b, то, чтобы найти боковую сторону а, можно воспользоваться формулой a=(P-b)/2. Иными словами, она будет равна 1/2 разности периметра и основания.
  • Если дана высота h равнобедренного треугольника, проведенная к основанию b, которое Вам известно, то боковую сторону а можно найти по тереме Пифагора: a=(h^2+b^2/4)^1/2. Иными словами, Вам необходимо будет найти квадратный корень.
  • Если даны углы α при основании, угол β при вершине и основание b, боковую сторону можно найти из теоремы синусов: a=b*sinα/sinβ.

Похожие инструкции

Как найти процент от числа

Процент – это одна сотая любого значения. Благодаря столь простому определению несложно понять, что целая...

Обратная матрица онлайн

Нахождение обратных матриц является важной частью курса математического анализа. Умение работать с...

Формула площади круга

Круг – это геометрическая фигура, граница которой определена окружностью. Последняя представляет собой...

Как найти периметр прямоугольника

Прямоугольником называется параллелограмм, все углы которого равны триста шестьдесят градусов, то есть...

kak-legko.ru

Боковая сторона равнобедренного треугольника

Определение и формулы боковых сторон равнобедренного треугольника

Боковая сторона равнобедренного треугольника

Формулы, выражающие боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол при основании

    \[a=\frac{b}{2\cos \alpha } ,\]

через высоту и угол при основании

    \[a=\frac{h}{\sin \alpha } , \]

через основание и угол между боковыми сторонами

    \[a=\frac{b}{2\sin \frac{\beta }{2}} ,\]

где a – боковая сторона, b – основание, \alpha – угол при основании, \beta – угол между боковыми сторонами.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Высота равнобедренного треугольника | Онлайн калькулятор

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам - это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами - например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрошенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

allcalc.ru

Формулы равнобедренного треугольника

Определение и формулы равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник

Формулы, выражающие стороны равнобедренного треугольника:

    \[a=\frac{b}{2} \cos \alpha =\frac{h}{\sin \alpha } =\frac{b}{2\sin \frac{\beta }{2}} ,\ b=2a\cos \alpha =2a\sin \frac{\beta }{2} \]

Площадь равнобедренного треугольника:

    \[S=\frac{1}{2} a^{2} \sin \beta ,\ S=\frac{1}{2} ab\sin \alpha ,\ S=\frac{1}{2} ah,\ S=\frac{b}{4} \sqrt{4a^{2} -b} \]

Радиус вписанной окружности

    \[r=\frac{b}{2} \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} \]

Радиус описанной окружности

    \[R=\frac{a^{2}}{\sqrt{4a^{2} -b^{2}} } \]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти основание равнобедренного треугольника по двум сторонам

Треугольник - это геометрическая фигура, которая имеет минимально возможное для многоугольников количество сторон и вершин и поэтому является простейшей фигурой, в которой присутствуют углы. Можно сказать, что это самый «заслуженный» многоугольник в истории математики - он использовался для выведения большого числа тригонометрических функций и теорем. И среди этих элементарных фигур есть более простые и менее. К первым относится равнобедренный треугольник, состоящий из одинаковых боковых сторон и основания.

Инструкция

  • Найти длину основания такого треугольника по боковым сторонам без дополнительных параметров можно только в том случае, если они заданы своими координатами в двух- или трехмерной системе. Например, пусть даны трехмерные координаты точек A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), отрезки между которыми образуют боковые стороны. Тогда вам известны и координаты третьей стороны (основания) - ее образует отрезок AC. Для вычисления его длины найдите разницу между координатами точек вдоль каждой оси, полученные значения возведите в квадрат и сложите, а из результата извлеките квадратный корень: AC = √((X₃-X₁)² + (Y₃-Y₁)² + (Z₃-Z₁)²).
  • Если же известна только длина каждой из боковых сторон (a), то для вычисления длины основания (b) нужна дополнительная информация - например, величина угла между ними (γ). В этом случае можно воспользоваться теоремой косинусов, из которой вытекает, что длина стороны треугольника (не обязательно равнобедренного) равна квадратному корню из суммы квадратов длин двух других сторон, из которой вычтено удвоенное произведение их длин на косинус угла между ними. Так как в равнобедренном треугольнике длины задействованных a формуле сторон одинаковы, то ее можно упростить: b = a*√(2*(1-cos(γ))).
  • При тех же исходных данных (длина боковых сторон равна a, угол между ними равен γ) можно использовать и теорему синусов. Для этого найдите удвоенное произведение известной длины стороны на синус половины угла, лежащего напротив основания треугольника: b = 2*a*sin(γ/2).
  • Если кроме длин боковых сторон (a) дана величина угла (α), прилегающего к основанию, то можно применить теорему о проекциях: длина стороны равна сумме произведений двух других сторон на косинус угла, который каждая из них образует с этой стороной. Так как в равнобедренном треугольнике эти стороны, как и задействованные углы, имеют одинаковую величину, то записать формулу можно так: b = 2*a*cos(α).

completerepair.ru