Как определить периодичность функции. Определить период


Периодичность функций

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

 

Пример 1: функция f(x) имеет период, равный 2: T=2 и f(x)=x^2+2x при x in[-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5).

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда f(-3)= f(-1), f(3,5)=f(-0,5). Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение f(-1)=(-1)^2-2=-1, в точке (3,5) функция принимает значение f(-0,5)=(-0,5)^2+2(-0,5)=-0,75.

Теперь найдем значение искомого выражения: -2f(-3)-4f(3,5)=-2(-1)-4(-0,75)=5.

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что f(x+T)=f(x).

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция f(x)=sqrt{x}.

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x), то есть sqrt{x+T}= sqrt{x}? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция f(x)= x^2-2x+4.

Функцию для удобства представим в виде: f(x)= (x-2)^2.

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x), то есть (x-2)^2= (x+T-2)^2? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция f(x)=delim{|}{cos x}{|}. Если функция периодична, то будет выполняться условие: f(x+T)=f(x), то есть delim{|}{cos x}{|}= delim{|}{cos (x+T)}{|}. Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки x=0. Тогда  delim{|}{cos 0}{|}= delim{|}{cos (0+T)}{|}, или delim{|}{cos T}{|}=1. Это означает, что либо  cos T=1, либо cos T=-1,  то есть либо T=2{pi},  либо T={pi},  а так как главным считается наименьший  положительный период, то T={pi}.

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: delim{|}{cos (x+pi)}{|}= delim{|}{-cos x}{|}= delim{|}{cos x}{|}=f(x).

 Пример 5. Определить периодичность функции f(x)=cos (2x)+2sin (2x).

Если Т – период, то cos 2(x+T)+2sin 2(x+T)= cos (2x)+2sin (2x).

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, pi. Получим:

cos (2{pi}+2T)+2sin (2pi+2T)= cos (2{pi})+2sin (2{pi})

cos (2T)+2sin (2T)=1

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: cos 2(x-T)+2sin 2(x-T)= cos (2x)+2sin (2x). Подставим  «удобную» точку pi:

cos (2{pi}-2T)+2sin (2{pi}-2T)= cos (2{pi})+2sin (2{pi})

cos (-2T)+2sin (-2T)=1

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

cos (2T)-2sin (2T)=1

Имеем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ cos (2T)-2sin (2T)=1} { cos (2T)+2sin (2T)=1}}}{ }

Уравнения сложим, и получим

2cos (2T)=2, откуда

cos (2T)=1

2T=2{pi}n, при n=1 получим  T={pi} – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: cos (2T)-2sin (2T)=1. Из основного тригонометрического тождества:

{sqrt{1-{sin {2T}}^2}}+2{sin {2T}}=1

Оставим в левой части только корень:

sqrt{1-{sin {2T}}^2}=1-2{sin {2T}}

Возведем в квадрат:

1-(sin {2T})^2=1-4sin 2T+4(sin {2T})^2

5(sin {2T})^2-4sin {2T}=0

{sin {2T}}(5sin {2T}-4)=0

Тогда либо sin {2T}=0, либо 5sin {2T}-4=0 и sin {2T}=4/5.

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

sin {2T}=0

2T={pi}n и наименьшим будет период при n=1, то есть T={pi}.

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  f(x+T)=f(x):

cos (2x+2{pi})+2sin (2x+2{pi})= cos (2x)+2sin (2x)=f(x), то есть

период данной функции – T={pi}.

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции f(x)= delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|} и найти ее основной период.

Если Т – период, то delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{x+T}{|}}}{|}

Подставим x=0, имеем

delim{|}{{sin}{delim{|}{0}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{T}{|}}}{|},

Или sin T= 0, T= {pi}n, наименьший период при n=1, T= {pi}.

Проверим:

delim{|}{{sin}{delim{|}{x+{pi}}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|}

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции f(x)=sin 4x.

Запишем условие периодичности:

sin 4(x+T)=sin 4x, если x=0, то

sin 4T=sin 0=0, откуда  4T= {pi}n, T= {{pi}n}/4. При n=1, T= {pi}/4, при n=2, T= {pi}/2. Проверкой можно показать, что T= {pi}/4 периодом не является. Тогда T= {pi}/2. Действительно:

sin 4(x+{pi}/2)=sin (4x+2{pi})=sin 4x

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции f(x)=cos x-1 является T=2{pi}.

Тогда: cos x-1= cos (x+2{pi})-1= cos x-1

Пример 9. Доказать, что периодом функции f(x)= sin (x-{pi}/4) является T=2{pi}.

Тогда: sin (x-pi/4)= sin (x+2pi-pi/4)= sin (x+7pi/4)

Если x=0, то

sin({-pi}/4)= sin ({7pi}/4), а  так как {-pi}/4 и {7pi}/4 –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

easy-physic.ru

как найти период функции

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}}\]

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 3 \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}.\]

    \[2)y = \frac{2}{7}\cos (\frac{\pi }{5} - \frac{x}{{11}})\]

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| { - \frac{1}{{11}}} \right|}} = 2\pi \cdot 11 = 22\pi .\]

    \[3)y = 0,3tg(\frac{{5x}}{9} - \frac{\pi }{7})\]

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {\frac{5}{9}} \right|}} = \frac{{9\pi }}{5}.\]

    \[4)y = 9ctg(0,4x - 7)\]

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

    \[{T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {0,4} \right|}} = \frac{{10\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{2}.\]

 

www.uznateshe.ru

Как определить период по графику

Многие математические функции имеют одну особенность, облегчающую их построение, - это периодичность, то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные промежутки.

Инструкция

  • Самыми известными периодическими функциями математики являются синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный характер и основной период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит любое число, основного периода данная функция не имеет, так как представляет собой прямую.
  • Вообще функция является периодической, если существует такое целое число N, которое отлично от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции - это и есть наименьшее число N, но не ноль. То есть, например, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.
  • Иногда при функции может стоять множитель (например sin 2x), который увеличит или сократит период функции. Для того чтобы найти период по графику, необходимо определить экстремумы функции - самую высокую и самую низкую точки графика функции. Так как синусоида и косинусоида имеют волнообразный характер, это достаточно легко сделать. От данных точек постройте перпендикулярные прямые до пересечения с осью Х.
  • Расстояние от верхнего экстремума до нижнего будет половиной периода функции. Удобнее всего вычислять период от пересечения графика с осью Y и, соответственно, нулевой отметки по оси х. После этого необходимо умножить полученное значение на два и получить основной период функции.
  • Для простоты построения графиков синусоиды и косинусоиды необходимо отметить, что если при функции стоит целое число, то ее период удлинится (то есть 2П необходимо умножить на этот коэффициент) и график будет выглядеть более мягко, плавно; а если число дробное, наоборот, сократится и график станет более «острым», скачкообразным на вид.

completerepair.ru

Как найти период

Период – это физическая величина, обозначающая промежуток времени, за который происходит одно полное колебание в механическом, электромагнитном или ином повторяющемся процессе. В школьном курсе физики период является одной из величин, нахождение которых наиболее часто требуется в задачах. Вычисление периода производится с применением известных формул, соотношений параметров тел и их движений в рассматриваемой колебательной системе.

Инструкция

  • В наиболее простом случае решения практических задач на периодические колебания тел следует учитывать само определение физической величины. Период измеряется в секундах и равен интервалу времени за одно полное колебание. В рассматриваемой системе в момент выполнения равномерных колебаний подсчитайте их число за строго фиксированное время, например за 10 с. Вычислите период по формуле Т = t/N, где t – время колебаний (с), N – подчитанное значение.
  • При рассмотрении задачи на распространение звуковых волн с известной скоростью и длиной колебаний для вычисления периода (Т) используйте формулу: Т= λ/v, где v - скорость распространения периодических колебаний (м/с), λ - длина волны (м). Если известна лишь частота (F) совершаемых телом движений, определите период исходя из обратного соотношения: T = 1/F (с).
  • Если задана механическая колебательная система, состоящая из подвешенного тела массой m (м) и пружины с известной жесткостью k (Н/м), определить период колебаний груза (Т) можно по формуле T=2π*√(m/k). Высчитайте искомую величину в секундах, подставив известные значения.
  • Движение тела по орбите с заданным радиусом (R) и постоянной скоростью (V) также может быть периодическим. В данном случае колебание происходит по окружности, т.е. тело за один период проходит путь, равный длине L = 2πR, где R – радиус окружности (м). При равномерном движении время, затрачиваемое на него, определяется как соотношение пройденного пути к скорости перемещения (в данной задаче – полного колебания). Таким образом, найдите значение периода движения тела по орбите по следующей формуле Т = 2πR/V.
  • В разделе электродинамики часто рассматриваются задачи для электромагнитного колебательного контура. Процессы в нем могут быть заданы общим уравнением синусоидального тока: I = 20*sin100*π*t. Здесь число 20 обозначает амплитуду колебаний тока (Im) контура, 100*π – циклическую частоту (ω). Вычислите период электромагнитных колебаний по формуле Т= 2π /ω, подставив соответствующие значения из уравнения. В данном случае Т = 2*π/(100*π) = 0,02 с.

completerepair.ru

Как определить период овуляции? :: SYL.ru

В организме женщины ежемесячно происходят изменения. Есть только краткий временной отрезок, когда возможно зачатие ребенка. Это период овуляции, выброс яйцеклетки из фолликула. В это время она выходит из яичника в брюшную полость и находится на стадии созревания. Именно в этот период сперматозоиды способны оплодотворить яйцеклетку. Но не стоит путать овуляцию с месячными ‒ это разные процессы, хоть и связанные между собой. Есть ограниченный срок, когда яйцеклетка готова к оплодотворению. И этот период можно рассчитать при помощи графика месячных. Итак, что такое овуляция и какой период овуляции у женщины?

Что такое овуляция?

Овуляция – это одноразовый процесс, происходящий во время менструального цикла, когда яйцеклетка выходит из яичника для зачатия. Чаще всего это время начинается за 12-16 дней до следующих месячных.

В яичниках женщины содержатся яйцеклетки, и одна из них созревает в период менструации. При приближении овуляции тело вырабатывает гормон эстроген, приводящий к утолщению слизистой матки и создающий благоприятную среду для сперматозоидов. Уровень его в это время высок, что вызывает повышение другого, лютеинизирующего гормона (ЛГ).

После резкого повышения уровня этого гормона яичник и выпускает созревшую яйцеклетку, которая остается живой и способной к оплодотворению ровно сутки. Овуляция происходит приблизительно после всплеска активности ЛГ в срок от 24 до 36 часов. Если оплодотворения не произошло, матка сбрасывает оболочку с яйцеклеткой и начинаются месячные, что означает начало следующего менструального цикла.

Менструальный цикл

Овуляция тесно связана с менструальным циклом, так как именно во время месячных яйцеклетка дозревает для оплодотворения. Сам цикл делится на две фазы. Первая фаза ‒ фолликулярная. Здесь идут месячные и зреет яйцеклетка. Вторая – лютеиновая, длительностью две недели, когда оплодотворенная яйцеклетка передвигается по маточной трубе для присоединения к матке. Овуляцию можно назвать промежуточной фазой между двумя основными. Так что же такое период овуляции? Это краткий временной отрезок, не превышающий 48 часов, когда яйцеклетка жива и ждет сперматозоидов для оплодотворения. Только в этот период может произойти зачатие. Часто у женщин появляются боли в период овуляции. Это не является признаком какой-либо патологии.

Желанная беременность

Многие (даже молодые) пары не могут зачать ребенка в первые годы совместной жизни. И причиной является яйцеклетка, которая созревает не каждый месяц. Именно поэтому очень важно уметь определять период овуляции, чтобы долгожданное зачатие свершилось. Особенно тем парам, которым врачи диагностировали бесплодие. Но стоит помнить, что и здоровые молодые люди, совершая половой акт, не могут стопроцентно рассчитывать, что зачатие в период овуляции состоится. Это зависит от множества причин.

Нежеланная беременность

Забеременеть в период овуляции может любая женщина, но не все пары хотят иметь ребенка по разным причинам. Многие не любят пользоваться презервативами, предпочитая «живой» секс. И что делать в этом случае, если лекарственные препараты и другие противозачаточные способы не подходят? Если точно знать период овуляции, то в эти дни лучше всего избегать полового акта или все-таки пользоваться презервативами. Определить опасное для зачатия время можно несколькими способами, описанными ниже.

Период овуляции: фазы

Данный процесс включает в себя три фазы:

  • Относительная стерильность. Период начинается с кровянистых выделений и заканчивается овуляцией. Даже при стабильном менструальном цикле длительность этой фазы может исчисляться несколькими днями, в зависимости от внешних или внутренних факторов.
  • Фертильность. Это период между началом овуляции и ее завершением. Именно в это время вероятность зачатия высока. Яйцеклетка живет только до 24 часов. Еще сутки отводятся на неточность определения времени овуляции.
  • Абсолютная стерильность. Это окончание овуляции. Период продолжается примерно от 10 до 16 дней до начала следующего менструального цикла. В это время зачатие невозможно.

Как определяется период овуляции

Итак, мы знаем, что данный временной отрезок является единственным промежутком цикла, когда возможно зачатие. Поэтому те, кто хочет забеременеть, заранее высчитывают его. Овуляция является признаком правильного функционирования здоровой половой системы. Этот период можно вычислить по:

  • месячным;
  • базальной температуре;
  • УЗИ;
  • тестам;
  • собственным ощущениям.

Но определить точный выход яйцеклетки не может ни один из указанных способов. Нарушить менструальный цикл могут следующие факторы: неправильное питание (диеты), лекарства, гормональные сбои и многое другое. Поэтому пользоваться методами, указывающими на начало овуляции, для защиты от нежелательной беременности бесполезно.

Определение овуляции по месячным (календарный метод)

Определение начала овуляции по календарному методу (месячным) подходит не каждой женщине. Но если менструальный цикл стабилен, то вычислить период овуляции по нему можно. Многие ведут свой календарь, и важно знать лишь начало менструального цикла, а не его продолжительность. Для вычисления овуляции берутся 4 последних периода месячных. Высчитывается средняя продолжительность цикла. Большая вероятность овуляции наступает в середине цикла (плюс-минус пару дней). Но яйцеклетка созревает не каждый месяц, бывают бесплодные периоды. С возрастом от (35 лет) они появляются все чаще, и вероятность забеременеть падает в несколько раз.

Определение овуляции по базальной температуре

Определение овуляции по базальной температуре используется уже десятилетиями. Еще с тех времен, когда не было УЗИ, анализов на гормоны и т.д. А если и была возможность пройти такое обследование, то это было очень дорого и доступно не каждой женщине. Поэтому врачи часто назначали измерение базальной температуры прямой кишки. И на основании полученных данных строили графики. А уже по ним врачи определяли процент вероятной беременности или отсутствие овуляции.

Способ, основанный на измерении базальной температуры, весьма непрост. Температура записывается в течение всего менструального цикла, измеряется пр помощи простого градусника. Делается это ежедневно после пробуждения (не вставая с постели). Измерения могут быть неточными, если их провели после болезни, секса и т.д. В первой половине менструального цикла температура не должна быть ниже 37 градусов. За несколько часов перед овуляцией она падает, а после резко подскакивает вверх. Это и есть период, в который возможно зачатие.

Определение овуляции по ультразвуковому исследованию

Если беременность не наступает продолжительное время, то период овуляции нужно знать как можно более точно. Иногда эта процедура требуется для сбора яйцеклеток (ЭКО). В таком случае применяется УЗИ. Врач при этом отслеживает развитие доминантного фолликула (если он образуется), который пропадает после овуляции. Если в позадиматочном пространстве есть жидкость, то это признак того, что яйцеклетка уже готова к оплодотворению сперматозоидами. Если в это время интенсивно заниматься сексом, то это чаще всего заканчивается беременностью.

Определение овуляции по тестам

Как определить период овуляции по тестам? В продаже есть тесты не только для определения беременности, но и для вычисления наиболее вероятного времени зачатия. Стоимость их практически одинакова. Методика определения периода овуляции практически схожа с обычными тестами на беременность. Женщины ориентируются по полоскам. Если появились две – период овуляции уже наступил. Тесты реагируют на лютеинизирующий гормон, выделяемый во время месячных. Его уровень остается высоким в течение одного-двух дней. Именно в это время возможно зачатие, так как наступил период овуляции. Рассчитать его можно и календарным способом (с помощью месячных).

Календарный способ

Применять календарный способ можно только при стабильном менструальном цикле. Яйцеклетка, готовая к оплодотворению, выходит за две недели до наступления месячных. Для точного расчета овуляции к первому дню начала последнего менструального цикла добавляется 28 дней. Затем отсчитывается назад ровно две недели. В результате вычисляется день овуляции. Также нужно помнить, что она может наступить раньше на день или два (под влиянием различных факторов). Поэтому планировать зачатие нужно за пять дней до рассчитанной даты.

Самая низкая температура тела (базальная) наблюдается во время сна. При этом период овуляции рассчитать можно более точно благодаря тому, что она вызывает повышение температуры.

Во время менструации гормональный фон меняется. Могут присутствовать разные показатели температуры. Изначально она держится на низком уровне при формировании яйцеклетки, создавая идеальные условия для созревания и подготовки к оплодотворению. В этот период температура тела держится до 36,5 градусов. Она может незначительно колебаться - на 0,1 градуса. В период овуляции температура сильно повышается – до 37.3 градусов, и держится такой до менструации. Если месячных нет, а температура продолжает оставаться повышенной, то вероятно наступление беременности.

При измерении температуры следует придерживаться строгих правил:

  • проводить его сразу же после сна;
  • иметь для этой процедуры отдельный ртутный градусник, держа его рядом с кроватью;
  • при пробуждении нельзя делать резких движений и вставать до измерения температуры;
  • вставлять градусник в задний проход на 5 минут.

Все показатели колебаний температуры записываются каждый день. А для более точных данных необходим продолжительный сон (более 6 часов). Вечерний секс, переутомление, спиртные напитки и болезнь могут сильно повлиять на показатели. Если было что-то из перечисленного, то это обязательно указывается в записях.

Таким образом составляется график, по которому можно определить наступление или отсутствие овуляции. Если беременность планируется заранее, то базальная температура измеряется на протяжении 4-х менструальных циклов.

Расчет овуляции УЗИ

Как определить период овуляции по УЗИ? Это процедура, по которой вычислить выход яйцеклетки можно наиболее точно. Особенно актуален этот метод для женщин с нестабильным менструальным циклом. Благодаря УЗИ можно не только отследить развитие яйцеклетки, но и точно определить момент ее выхода. Если месячные регулярные, то УЗИ проводится за 4 дня до возможной овуляции. При нерегулярных наблюдение проводится каждые 3 суток после месячных. Обязательно - за 5 дней до предполагаемой даты.

Расчет овуляции по тестам

Тест-полоски для определения овуляции реагируют на содержание в моче лютеинизирующего гормона. Он появляется до выхода яйцеклетки из разорвавшегося фолликула за 24-36 часов.

Если менструации были регулярными, то тест нужно делать за семнадцать дней до начала нового цикла. При непостоянном цикле выяснить день овуляции довольно сложно, так как трудно определить время для тестирования.

Расчет овуляции по собственным ощущениям

Встречаются женщины, которые способны определить благоприятный для зачатия период самостоятельно, ориентируясь на собственные ощущения. Есть несколько признаков, по которым можно определить овуляцию:

  • Ноющие боли в животе в период овуляции, которые бывают не очень сильными, но весьма ощутимыми. Чаще всего в этом случае болит яичник, в котором и зародилась яйцеклетка. Воспалений или иных заболеваний при этом не наблюдается.
  • По выделениям в период овуляции – прозрачным, тянущимся, без каких-либо запахов или примесей гноя. Не заметить их женщина не может, так как они обильные и вязкие.
  • Повышение либидо, когда сама природа заботится о продолжении рода.
  • Набухание груди.
  • Изменение настроения.

Можно ли спрогнозировать по овуляции пол ребенка?

Бытует мнение, что пол ребенка также можно спрогнозировать, зная период овуляции. Если половой акт совершается во время нее, то родится мальчик, а если за пару дней до нее – то девочка. Факты неподтвержденные, но при желании можно попробовать и проверить.

Теперь вы знаете, как узнать период овуляции и рассчитать его для своего организма.

www.syl.ru

Как определить периодичность функции

Содержание

  1. Инструкция

Как определить периодичность функции

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный промежуток — обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность — очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

  • Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
  • Классический пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции — не единственные периодические.
  • Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность — вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
  • Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.
  • Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
  • Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
  • Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π — иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

completerepair.ru

Как определить периодичность функции | Сделай все сам

По школьным урокам математики всякий помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный интервал — владеют и многие другие функции. Они именуются периодическими. Периодичность — дюже значимое качество функции, зачастую встречающееся в разных задачах. Следственно благотворно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

1. Если F(x) — функция довода x, то она именуется периодической, если есть такое число T, что для всякого x F(x + T) = F(x). Это число T и именуется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Скажем, функция F = const для всяких значений довода принимает одно и то же значение, а потому всякое число может считаться ее периодом.Традиционно математика волнует минимальный не равный нулю период функции. Его для краткости и называют примитивно периодом.

2. Типичный пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период идентичен и равен 2?, то есть sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и так дальше. Впрочем, разумеется, тригонометрические функции — не исключительные периодические.

3. Касательно примитивных, базовых функций исключительный метод установить их периодичность либо непериодичность — вычисления. Но для трудных функций теснее есть несколько примитивных правил.

4. Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F?(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Чай значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а от того что первообразная периодично повторяется, то должна повторяться и производная. Скажем, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется постоянно.Впрочем обратное не неизменно правильно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

5. Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Скажем sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен ?. Наглядно это дозволено представить так: умножая x на какое-либо число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

6. Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Впрочем ее период не будет легкой суммой периодов T1 и T2. Если итог деления T1/T2 — разумное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему всеобщему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Скажем, если период первой функции равен 12, а период 2-й — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это дозволено представить так: функции идут с различной «шириной шага», но если отношение их ширин осмысленно, то рано либо поздно (а вернее, именно через НОК шагов), они вновь сравняются, и их сумма начнет новейший период.

7. Впрочем если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической совсем. Скажем, пускай F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут будет равен 2, а T2 равен 2?. Соотношение периодов равняется ? — иррациональному числу. Следственно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Многие математические функции имеют одну специфика, облегчающую их построение, — это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные интервалы.

Инструкция

1. Самыми вестимыми периодическими функциями математики являются синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный нрав и стержневой период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит всякое число, основного периода данная функция не имеет, потому что представляет собой прямую.

2. Вообще функция является периодической, если существует такое целое число N, которое отменно от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции — это и есть наименьшее число N, но не нуль. То есть, скажем, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.

3. Изредка при функции может стоять множитель (скажем sin 2x), тот, что увеличит либо сократит период функции. Для того дабы обнаружить период по графику , нужно определить экстремумы функции — самую высокую и самую низкую точки графика функции. Потому что синусоида и косинусоида имеют волнообразный нрав, это довольно легко сделать. От данных точек постройте перпендикулярные прямые до пересечения с осью Х.

4. Расстояние от верхнего экстремума до нижнего будет половиной периода функции. Комфортнее каждого вычислять период от пересечения графика с осью Y и, соответственно, нулевой отметки по оси х. Позже этого нужно умножить полученное значение на два и получить стержневой период функции.

5. Для простоты построения графиков синусоиды и косинусоиды нужно подметить, что если при функции стоит целое число, то ее период удлинится (то есть 2П необходимо умножить на этот показатель) и график будет выглядеть больше мягко, плавно; а если число дробное, напротив, сократится и график станет больше «острым», скачкообразным на вид.

Видео по теме

jprosto.ru